Développements limités

Développements limités - analyse 1

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Chapitre 4 : Développements limités

Dans ce chapitre, pour n’importe quelle fonction, nous allons trouver le polynôme de degré n qui approche le mieux la fonction. Les résultats ne sont valables que pour x autour d’une valeur fixée (ce sera souvent autour de 0). Ce polynôme sera calculé à partir des dérivées successives au point considéré. Sans plus attendre, voici la formule, dite formule de Taylor-Young :
$$f(x)=f(0)+xf'(0)+\frac{x²}{2!}f^{(2)}(0)+....+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+x^n \epsilon(n)$$
La partie polynomiale $f(x)=f(0)+xf'(0)+\frac{x²}{2!}f^{(2)}(0)+....+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+x^n \epsilon(n)$ est le polynôme de degré $n$ qui approche le mieux $f (x)$ autour de $x = 0$. La partie $x^n ε (x)$ est le «reste» dans lequel $ε (x)$ est une fonction qui tend vers 0 (quand x tend vers 0) et qui est négligeable devant la partie polynomiale.
1. Formules de Taylor
Nous allons voir trois formules de Taylor, elles auront toutes la même partie polynomiale mais donnent plus ou moins d’informations sur le reste. Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne une expression exacte du reste. Puis la formule de Taylor avec reste $f^{( n + 1)} (c)$ qui permet d’obtenir un encadrement du reste et nous terminons avec la formule de Taylor-Young très pratique si l’on n’a pas besoin d’information sur le reste. Soit $I ⊂ R$ un intervalle ouvert. Pour $n ∈ N^∗$ , on dit que $f : I → R $est une fonction de classe $C^n$ si $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et $f^{( n )}$ est continue. $f$ est de classe $C^0$ si $f$ est continue sur $I$. $f$ est de classe $C^∞$ si $f$ est de classe $C^n$ pour tout $n ∈ N$ .
1.1. Formule de Taylor avec reste intégral

1.2. Formule de Taylor avec reste $f^{(n + 1)} ( c )$

Dans la plupart des cas on ne connaîtra pas ce $c$. Mais ce théorème permet d’encadrer le reste. Ceci s’exprime par le corollaire suivant :

1.3. Formule de Taylor-Young

1.4. Un exemple

2. Développements limités au voisinage d’un point
2.1. Définition et existence
Soit $I$ un intervalle ouvert et $f : I → R$ une fonction quelconque.

2.2. Unicité

Par exemple $x \mapsto cos (x)$ est paire et nous verrons que son DL en 0 commence par : $cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$

2.3. DL des fonctions usuelles à l’origine
Les DL suivants en 0 proviennent de la formule de Taylor-Young.

Ils ne sont pas tous à apprendre par cœur. Certain sont conséquence des autres. A vous de voir comment.
2.4. DL des fonctions en un point quelconque
La fonction $f$ admet un DL au voisinage d’un point a si et seulement si la fonction $x \mapsto f (x + a)$ admet un DL au voisinage de 0. Souvent on ramène donc le problème en 0 en faisant le changement de variables $h = x − a$.

3. Opérations sur les développements limités
3.1. Somme et produit
On suppose que $f$ et $g$ sont deux fonctions qui admettent des $DL$ en 0 à l’ordre $n$ :

3.2. Composition
On écrit encore :

3.3. Division
Voici comment calculer le DL d’un quotient $\frac{f}{g}. Soient

3.4. Intégration

4. Applications des développements limités
Voici les applications les plus remarquables des développements limités. On utilisera aussi les DL lors de l’étude locale des courbes paramétrées lorsqu’il y a des points singuliers.
4.1. Calculs de limites
Les DL sont très efficaces pour calculer des limites ayant des formes indéterminées ! Il suffit juste de remarquer que si $f (x) = c_0 + c_1 (x − a) + · · · $ alors $lim_{x → a} f (x) = c_0 $.

4.2. Position d’une courbe par rapport à sa tangente

Il y a 3 cas possibles.
– Si le signe est positif alors la courbe est au-dessus de la tangente.

– Si le signe est négatif alors la courbe est en dessous de la tangente.

– Si le signe change (lorsque l’on passe de $ x < a $ à $ x > a$) alors la courbe traverse la tangente au point d’abscisse a. C’est un point d’inflexion.

4.3. Développement limité en $+∞$
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I = ]x_0 , +∞ [$. On dit que $f$ admet un DL en $+∞$ à l’ordre n s’il existe des réels $c_0 , c_1 , . . . , c_n$ tels que