Courbes paramétrées

Courbes paramétrées - analyse 1

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Chapitre 5 : Courbes paramétrées

1. Définitions
Soit deux fonctions

$f$ et

$g$ définies sur le même sous-ensemble

$D ⊂ R$ . Le point

$M(t)$ de coordonnées

$( f (t); g(t))$ décrit un sous-ensemble

$(C)$ du plan lorsque

$t$ varie dans un intervalle

$I$ . Une représentation paramétrique d’une courbe

$(C)$ est un système d’équations où les coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d’un paramètre (souvent noté

$t, k, θ , . . .$ ).

$\left \{ \begin{array}{rcl} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array} \right.$
Ces équations sont appelées équations paramétriques de

$(C)$ . On note parfois également Si l’on veut que cette définition ait un sens, il faut que

$x(t)$ et

$y(t)$ existent simultanément. C’est pourquoi le domaine de définition

$D$ de la courbe

$(C)$ est l’intersection des domaines de définition

$D_x$ et

$D_y$ des fonctions

$x(t)$ et

$y(t)$ . On a donc

$D = D_x ∩ D_y$ .
Remarques
La courbe

$(C)$ n’est pas nécessairement le graphe d’une fonction ; c’est pourquoi on parle de courbe paramétrée et non pas de fonction paramétrée. On peut parfois, en éliminant le paramètre t entre les deux équations, obtenir

$y$ comme fonction de

$x$ , et ramener l’étude de la courbe à celle d’une courbe définie par une relation

$y = h(x)$ . Ainsi dans le cas suivant une telle fonction existe sur

$[0, 2[$ mais pas pour

$x < 0$ .

Exemples de courbes paramétrées classique
Figures de Lissajous (Jules Antoine Lissajous, 1822 - 1880)

En électronique, on peut faire apparaître des figures de Lissajous sur un oscilloscope.
2. Étude d’une courbe parametré
On étudie les courbes parametrées dans le but de les tracer dans le plan. A cet effet, on collecte le maximum d information a travers une étude qui comprend en général les six étapes suivantes.
1. Domaine de définition : Déterminer le domaine

$D$ où la courbe est définie. Puis réduire le domaine d’étude, on on l’identifie des symétries possibles et leurs impacts sur la courbe.
2. Branches infinies et asymptotes : Déterminer, s’il y a des asymptotes verticales, des asymptotes horizontales ou obliques.
3. Dérivées et tableau de variation : Calculer

$x' (t), y'(t)$ et

$\frac{y'(t)}{x'(t)}$ et dresser le tableau de variation.
4. Points particuliers : Déterminer, s’il y en a, les points à tangente verticale, les points à tangente horizontale et les points singuliers

$x'(t) = 0 et y'(t) = 0$ . Calculer la limite de la pente de la tangente aux points singulier
5. Intersection avec les axes .
6. Représentation graphique : Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à 5. Il n’est pas interdit de calculer certains points de la courbe, afin de faire un dessin plus précis.
2.1. Domaine de définition :
Le domaine de définition

$D$ de la courbe

$(C)$ est l’intersection des domaines de définition

$D_x et D_y$ des fonctions

$x(t)$ et

$y(t)$ . On a donc

$D = D_x ∩ D_y$ .
On considère toujours une courbe paramétrée donnée en coordonnées cartésiennes sur un intervalle réel

$I → R^2$ . La première étape de son étude consiste à reduire l’intervalle d’ étude en s’appuyant sur une périodicité ou/et des symétries. Plusieurs cas sont possibles. La liste suivante n’est pas exhaustive.
– Cas òu

$I = R$ et où

$x(t)$ et

$y(t)$ sont périodiques de période

$T$ : alors pour tout

$t ∈ R$ , le point

$M(t + T) = M(t)$ . D’où, étude se réduit sur un intervalle de longueur

$T$ .
– Cas où

$I$ est symétrique par rapport à

$0$ et où

$x(t) et y(t)$ sont paires : alors pour tout

$t ∈ I$ , le point

$M( − t)$ coıncide avec le point

$M(t)$ . D’où, étude sur

$I ∩ R^+$ .
– Cas où

$I$ est symétrique par rapport à 0 et où

$x(t)$ et

$y(t)$ sont impaires : alors pour tout

$t ∈ I$ , le point

$M( − t)$ est le symétrique du point

$M(t)$ par rapport à

$O$ . D’où, étude sur

$I ∩ R^+$ , puis symétrie par rapport à

$O$ .
– Cas où

$I$ est symétrique par rapport à 0 et où

$x(t)$ est paire et

$y(t)$ est impaire : alors pour tout

$t ∈ I$ , le point

$M( − t)$ est le symétrique du point

$M(t)$ par rapport à

$(Ox)$ . D’où, étude sur

$I ∩ R^+$ puis symétrie par rapport à

$(Ox)$ .
– Cas où

$I$ est symétrique par rapport à 0 et où

$x(t)$ est impaire et

$y(t)$ est paire : alors pour tout

$t ∈ I$ , le point

$M( − t)$ est le symétrique du point

$M(t)$ par rapport à

$(Oy)$ . D’où, étude sur

$I ∩ R^+$ puis symétrie par rapport à

$(Oy)$
– Cas où

$I$ est symétrique par rapport à 0 et où

$x( − t) = y(t)$ et

$y( − t) = x(t)$ : alors pour tout

$t ∈ I$ , le point

$M( − t)$ est le symétrique du point

$M(t)$ par rapport à la droite d’équation

$y = x$ . D’où, étude sur

$I ∩ R^+$ puis symétrie par rapport à

$y = x$ .
2.2. Branches infinies et asymptotes
On parle d une branche infini lorsque lorsque

$\lim_{t \to t_0} x(t) = \infty ou \lim_{t \to t_0} y(t) = \infty$ Le signe de l’ infini n a pas d’importance. On a une asymptote dans les trois cas suivants.
– Asymptote verticale : On obtient une telle asymptote lorsque

$x(t)$ tend vers une valeur finie

$a$ et

$y(t)$ tend vers une valeur infinie.

$\lim_{t \to t_0} x(t) = a ou \lim_{t \to t_0} y(t) = \infty$ L’asymptote verticale est une droite qui a pour équation

$x = a$ . Si

$x(t)–a$ est positif, la courbe est à droite de l’asymptote, sinon elle est à gauche. La courbe coupe l’asymptote lorsque

$x(t) = a$ .
– Asymptote horizontale : Cette fois,

$x(t)$ tend vers l’infini et

$y(t)$ tend vers une valeur finie

$b$ lorsque

$t$ tend vers

$t_0$ .

$\lim_{t \to t_0} x(t) = \infty ou \lim_{t \to t_0} y(t) = b$ L’asymptote horizontale est une droite qui a pour équation

$y = b$ . Si

$y(t)–b$ est positif, la courbe est en dessus de l’asymptote, sinon elle est en dessous. La courbe coupe l’asymptote lorsque

$y(t) = b$ .
– Asymptote oblique : Une asymptote oblique ne peut exister que si

$x(t)$ et

$y(t)$ tendent tous deux vers l’infini lorsque

$t$ tend vers

$t_0$ . Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. Il faut en plus qu’il existe

$a$ et

$b$ tels que

$\lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)}= a et \lim_{t \to t_0} y(t)-ax(t) = b$
2.3. Dérivées et tableau de variation :
1. Dérivées.
Les valeurs de t décrivant le domaine d’étude, on étudie, lorsque c’est possible, le signe des dérivées

$x'(t)$ et

$y' (t)$ .
Regardons deux points voisins de la courbe :

$M(t_0 )$ et

$M(t_0 + ε )$ . La droite passant par ces deux points tend vers la tangente à la courbe au point

$M(t_0 )$ lorsque

$ε$ tend vers zéro. La pente de la droite passant par

$M(t_0 )$ et

$M(t_0 + ε )$ est :

la quantité

$\frac{dy}{dx} (t_0)$ donne la pente de la tangente à la courbe.
2. Tableau de variation.
Comme pour les fonctions d’une seule variable on présentera les résultats sous forme d’un tableau, qui est constitué de deux tableaux accolés, donnant les variations de

$x(t)$ et

$y(t)$ . La quantité

$\frac{y'(t)}{x'(t)}$ donne la pente de la tangente à la courbe.
2.4. Points particuliers

2.5. Intersection avec les axes :
Trouver les

$t$ qui satisfont

$x(t) = 0$ et

$y(t) = 0$ . On peut aussi voir l’intersection avec

$x = y$ et

$x = − y$ . On pourra compléter le tableau des dérivées par une ligne donnant les valeurs de

$y'(t)$ et

$x' (t)$ pour les valeurs de

$t$ figurant déjà dans ce tableau.
2.6. Représentation graphique :
Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes (2.1) à (2.5). Il n’est pas interdit de calculer certaines points de la courbe afin de faire un dessin plus précis.
3. Exemples d’études