Courbes paramétrées

Courbes paramétrées - analyse 1

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Chapitre 5 : Courbes paramétrées

1. Définitions
Soit deux fonctions $f$ et $g$ définies sur le même sous-ensemble $D ⊂ R$ . Le point $M(t)$ de coordonnées $( f (t); g(t))$ décrit un sous-ensemble $(C)$ du plan lorsque $t$ varie dans un intervalle $I$. Une représentation paramétrique d’une courbe $(C)$ est un système d’équations où les coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d’un paramètre (souvent noté $t, k, θ , . . .$ ).
$$\left \{ \begin{array}{rcl} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array} \right. $$
Ces équations sont appelées équations paramétriques de $(C)$. On note parfois également Si l’on veut que cette définition ait un sens, il faut que $x(t)$ et $y(t)$ existent simultanément. C’est pourquoi le domaine de définition $D$ de la courbe $(C)$ est l’intersection des domaines de définition $D_x$ et $D_y$ des fonctions $x(t)$ et $y(t)$. On a donc $D = D_x ∩ D_y$ .
Remarques
La courbe $(C)$ n’est pas nécessairement le graphe d’une fonction ; c’est pourquoi on parle de courbe paramétrée et non pas de fonction paramétrée. On peut parfois, en éliminant le paramètre t entre les deux équations, obtenir $y$ comme fonction de $x$, et ramener l’étude de la courbe à celle d’une courbe définie par une relation $y = h(x)$. Ainsi dans le cas suivant une telle fonction existe sur $[0, 2[$ mais pas pour $x < 0$.

Exemples de courbes paramétrées classique
Figures de Lissajous (Jules Antoine Lissajous, 1822 - 1880)

En électronique, on peut faire apparaître des figures de Lissajous sur un oscilloscope.
2. Étude d’une courbe parametré
On étudie les courbes parametrées dans le but de les tracer dans le plan. A cet effet, on collecte le maximum d information a travers une étude qui comprend en général les six étapes suivantes.
1. Domaine de définition : Déterminer le domaine $D$ où la courbe est définie. Puis réduire le domaine d’étude, on on l’identifie des symétries possibles et leurs impacts sur la courbe.
2. Branches infinies et asymptotes : Déterminer, s’il y a des asymptotes verticales, des asymptotes horizontales ou obliques.
3. Dérivées et tableau de variation : Calculer $x' (t), y'(t)$ et$\frac{y'(t)}{x'(t)}$ et dresser le tableau de variation.
4. Points particuliers : Déterminer, s’il y en a, les points à tangente verticale, les points à tangente horizontale et les points singuliers $x'(t) = 0 et y'(t) = 0$. Calculer la limite de la pente de la tangente aux points singulier
5. Intersection avec les axes .
6. Représentation graphique : Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à 5. Il n’est pas interdit de calculer certains points de la courbe, afin de faire un dessin plus précis.
2.1. Domaine de définition :
Le domaine de définition $D$ de la courbe $(C)$ est l’intersection des domaines de définition $D_x et D_y$ des fonctions $x(t)$ et $y(t)$. On a donc
$$D = D_x ∩ D_y$$ .
On considère toujours une courbe paramétrée donnée en coordonnées cartésiennes sur un intervalle réel $I → R^2$ . La première étape de son étude consiste à reduire l’intervalle d’ étude en s’appuyant sur une périodicité ou/et des symétries. Plusieurs cas sont possibles. La liste suivante n’est pas exhaustive.
– Cas òu $I = R$ et où $x(t)$ et $y(t)$ sont périodiques de période $T$ : alors pour tout $t ∈ R$ , le point $M(t + T) = M(t)$. D’où, étude se réduit sur un intervalle de longueur $T$.
– Cas où $I$ est symétrique par rapport à $0$ et où $x(t) et y(t)$ sont paires : alors pour tout $t ∈ I$, le point $M( − t)$ coıncide avec le point $M(t)$. D’où, étude sur $I ∩ R^+$ .
– Cas où $I$ est symétrique par rapport à 0 et où $x(t)$ et $y(t)$ sont impaires : alors pour tout $t ∈ I$, le point $M( − t)$ est le symétrique du point $M(t)$ par rapport à $ O$. D’où, étude sur $I ∩ R^+$ , puis symétrie par rapport à $O$.
– Cas où $I$ est symétrique par rapport à 0 et où $x(t)$ est paire et $y(t)$ est impaire : alors pour tout $t ∈ I$, le point $M( − t)$ est le symétrique du point $M(t)$ par rapport à $(Ox)$. D’où, étude sur $I ∩ R^+$ puis symétrie par rapport à $(Ox)$.
– Cas où $I$ est symétrique par rapport à 0 et où $x(t)$ est impaire et $y(t)$ est paire : alors pour tout $t ∈ I$, le point $M( − t)$ est le symétrique du point $M(t)$ par rapport à $(Oy)$. D’où, étude sur $I ∩ R^+$ puis symétrie par rapport à $(Oy)$
– Cas où $I$ est symétrique par rapport à 0 et où $x( − t) = y(t)$ et $y( − t) = x(t)$ : alors pour tout $t ∈ I$, le point $M( − t)$ est le symétrique du point $M(t)$ par rapport à la droite d’équation $y = x$. D’où, étude sur $I ∩ R^+$ puis symétrie par rapport à $y = x$.
2.2. Branches infinies et asymptotes
On parle d une branche infini lorsque lorsque
$$ \lim_{t \to t_0} x(t) = \infty ou \lim_{t \to t_0} y(t) = \infty$$ Le signe de l’ infini n a pas d’importance. On a une asymptote dans les trois cas suivants.
– Asymptote verticale : On obtient une telle asymptote lorsque $x(t)$ tend vers une valeur finie $a$ et $y(t)$ tend vers une valeur infinie.
$$ \lim_{t \to t_0} x(t) = a ou \lim_{t \to t_0} y(t) = \infty$$ L’asymptote verticale est une droite qui a pour équation $x = a$. Si $x(t)–a$ est positif, la courbe est à droite de l’asymptote, sinon elle est à gauche. La courbe coupe l’asymptote lorsque $x(t) = a$.
– Asymptote horizontale : Cette fois, $x(t)$ tend vers l’infini et $y(t)$ tend vers une valeur finie $b$ lorsque $t$ tend vers $t_0$ .
$$ \lim_{t \to t_0} x(t) = \infty ou \lim_{t \to t_0} y(t) = b$$ L’asymptote horizontale est une droite qui a pour équation $y = b$. Si $y(t)–b$ est positif, la courbe est en dessus de l’asymptote, sinon elle est en dessous. La courbe coupe l’asymptote lorsque $y(t) = b$.
– Asymptote oblique : Une asymptote oblique ne peut exister que si $x(t)$ et $y(t)$ tendent tous deux vers l’infini lorsque $t$ tend vers $t_0$ . Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. Il faut en plus qu’il existe $a$ et $b$ tels que $$ \lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)}= a et \lim_{t \to t_0} y(t)-ax(t) = b$$
2.3. Dérivées et tableau de variation :
1. Dérivées.
Les valeurs de t décrivant le domaine d’étude, on étudie, lorsque c’est possible, le signe des dérivées $x'(t)$ et $y' (t)$.
Regardons deux points voisins de la courbe : $M(t_0 )$ et$ M(t_0 + ε )$. La droite passant par ces deux points tend vers la tangente à la courbe au point $M(t_0 )$ lorsque $ε$ tend vers zéro. La pente de la droite passant par $M(t_0 )$ et $M(t_0 + ε ) $est :

la quantité $\frac{dy}{dx} (t_0)$ donne la pente de la tangente à la courbe.
2. Tableau de variation.
Comme pour les fonctions d’une seule variable on présentera les résultats sous forme d’un tableau, qui est constitué de deux tableaux accolés, donnant les variations de $x(t)$ et $y(t)$. La quantité $\frac{y'(t)}{x'(t)}$ donne la pente de la tangente à la courbe.
2.4. Points particuliers

2.5. Intersection avec les axes :
Trouver les $t$ qui satisfont $x(t) = 0$ et $y(t) = 0$. On peut aussi voir l’intersection avec $x = y$ et $x = − y$. On pourra compléter le tableau des dérivées par une ligne donnant les valeurs de $y'(t)$ et $x' (t)$ pour les valeurs de $t$ figurant déjà dans ce tableau.
2.6. Représentation graphique :
Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes (2.1) à (2.5). Il n’est pas interdit de calculer certaines points de la courbe afin de faire un dessin plus précis.
3. Exemples d’études