1. Dérivée
1.1. Dérivée en un point
Soit $I$ un intervalle ouvert de $R$ et $f : I → R$ une fonction. Soit $x_0 ∈ I$.
1.2. Tangente
La droite qui passe par les points distincts $(x_0 , f (x_0 )) et (x, f (x))$ a pour coefficient directeur $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ . À
la limite on trouve que le coefficient directeur de la tangente est $f'(x_0 )$. Une équation de la tangente au
point $(x_0 , f (x_0 ))$ est donc :
On a clairement d’après es la définition :
2. Calcul des dérivées
2.1. Somme, produit,...
La proposition suivante est très pratique sa démonstration se fait par un calcul direct.
2.2. Dérivée de fonctions usuelles
Le tableau de gauche est un résumé des principales formules à connaître, $x$ est une variable. Le tableau
de droite est celui des compositions (voir paragraphe suivant), $u$ représente une fonction $x \mapsto u(x)$.
2.3. Composition
On a aussi
2.4. Dérivées successives
Soit $f : I → R$ une fonction dérivable et soit $f'$ sa dérivée. Si la fonction $f' : I → R$ est aussi dérivable on
note $f" = ( f' )'$la dérivée seconde de $f$ . Plus généralement on note :
La démonstration est similaire à celle de la formule du binôme de Newton et les coefficients que l’on
obtient sont les mêmes.
3. Extremum local, théorème de Rolle
3.1. Extremum local
Soit $f : I → R$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Dire que $f$ a un maximum local en $x_0$ signifie que $f (x_0 )$ est la plus grande des valeurs $f (x)$ pour les $x$
proches de $x_0$ . On dit que $f : I → R$ admet un maximum global en $x_0$ si pour toutes les autres valeurs
$f (x), x ∈ I$ on a $f (x) \leq f(x_0 )$ (on ne regarde donc pas seulement les $f (x)$ pour $x$ proche de $x_ 0)$. Bien sûr un
maximum global est aussi un maximum local, mais la réciproque est fausse.
En d’autres termes, un maximum local (ou un minimum local) $x_0$ est toujours un point critique. Géomé-
triquement, au point $(x_0 , f (x_0 ))$ la tangente au graphe est horizontale.
3.2. Théorème de Rolle
Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe de $f$ où la tangente est horizontale.
4. Théorème des accroissements finis
4.1. Théorème des accroissements finis
Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe de $f$ où la tangente est parallèle à
la droite $(AB)$ où$ A = (a, f (a))$ et$ B = (b, f (b))$.
